黎曼函数定义如下：

R(x)={1p, x=qp(p∈N+,q∈Z(不含0),p,q互素)1, x=0,0, x是无理数R\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{p},\ x=\dfrac{q}{p}\left( p\in N^+,q\in Z(不含{0}),p,q互素 \right)\\ 1,\ x=0,\\ 0,\ x\text{是无理数}\\ \end{array}\right. R(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​p1​, x=pq​(p∈N+,q∈Z(不含0),p,q互素)1, x=0,0, x是无理数​

证明：（1）R(x)R(x)R(x)在任意点的极限存在，且极限为0；

​ (2) 在一切无理点连续，有理点不连续（为可去间断点）.

​ (3) 讨论R(x)R(x)R(x)在[0,1]上的可积性。

**解：**先证明一个问题：R(x)R(x)R(x)是一个以1为周期的函数。（R(x+1)=R(x)R(x+1)=R(x)R(x+1)=R(x))

分三种情况讨论：a. x=qpx=\dfrac{q}{p}x=pq​为非零有理数时, R(x+1)=R(x)=1pR(x+1)=R(x)=\dfrac{1}{p}R(x+1)=R(x)=p1​也为非零有理数, 根据函数定义：R(x+1)=R(x)=1p.R(x+1)=R(x)=\dfrac{1}{p}.R(x+1)=R(x)=p1​.

b. xxx为无理数时，x+1x+1x+1也为无理数，R(x+1)=R(x)=0.R(x+1)=R(x)=0.R(x+1)=R(x)=0.

c. x=0x=0x=0时，R(x+1)=R(1)=1=R(x).R(x+1)=R(1)=1=R(x).R(x+1)=R(1)=1=R(x).

综上，R(x+1)=R(x)R(x+1)=R(x)R(x+1)=R(x)对∀x∈R\forall x\in \mathbf{R}∀x∈R，故只需讨论区间[0,1].[0,1].[0,1].

证明：(1) 先列一个表格：

总结：对∀k∈Z+\forall k\in Z^+∀k∈Z+,在[0,1][0,1][0,1]不超过kkk的有理数总为有限个。

设x0x_0x0​为[0,1][0,1][0,1]的任意一点，∀ε>0\forall \varepsilon>0∀ε>0, 取k=[1ε]k=[\dfrac{1}{\varepsilon}]k=[ε1​], 设在[0,1][0,1][0,1]不超过kkk的有理数为：ri(1≤i≤n)r_i(1\leq i\leq n)ri​(1≤i≤n), 记δ=min⁡1≤i≤n{∣ri−x0∣}\delta=\min\limits_{1\leq i\leq n}\{|r_i-x_0|\}δ=1≤i≤nmin​{∣ri​−x0​∣},

当∣x−x0∣